自如寓打算门口用砖头围立一个蓄水池子,从上面看凹凸不平,凹的地方会有积水。那如果用数字代表每个砖头的高度,就形成一个二维数据(如示例),请问这个池子能存储多少单位的水?
例如二维数组为:
9 9 9 9
3 0 0 9
7 8 2 6
时,答案是中间的 0,0 位置可以存储 2(因为其外面最低是 2)个单位的水,因此答案为 2 + 2 = 4。
示例:
输入:[1 1 1 1,1 0 0 1,1 1 1 1]
输出:2
输入:[12 11 12 0 13,12 9 8 12 12,13 10 0 3 15,19 4 4 7 15,19 4 3 0 15,12 13 10 15 13]
输出:58
解题思路
这道题是所有题中困惑我时间最长的题,一开始思维禁锢在想直接通过找到每块砖的四周有效最低砖高度 $H_{min}$,然后这块砖所剩的水为 $w[i][j] = H_{min}+h[i][j]$($h[i][j]$ 为砖的高度,i 和 j 为砖的位置坐标),因此蓄水池能蓄下的水为 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n w[i][j]$。经过一番尝试,发现寻找某块砖四周最低有效砖逻辑比较复杂,且不易理解,又尝试过使用回溯算法寻找出池子中的所有连通图,但是也未有果。
最后,发现基础平台一位同学的实现思路很清晰,我认为他的实现是最合适的,所以研究了一下。该实现中机智地采用逆向思维,首先往池子注满水(最高砖的高度),然后再通过条件判定每块砖是否需要进行漏水,一直到没有砖需要进行漏水操作。
实现思路如下:
- 找出高度最高的砖,高度记为 $H_{max}$;
- 对除去边界的砖进行注水操作,每块砖加水量为 $w[i][j] = H_{max} - h[i][j]$($h[i][j]$ 为砖的高度);
- 对某块砖进行漏水操作,只要这块砖有盛水且上下左右相邻的 4 块砖高度和盛水量之和小于这块砖高度和盛水量之和,则需要进行一次漏水,漏水条件可以描述为 $w[i][j] > 0$ && $h[i][j-1] + w[i][j-1] < h[i][j] + w[i][j]$(该条件为砖左侧相邻的漏水条件,右、上、下同理可得);
- 持续漏水操作,一直重复步骤 3 直至没有砖需要进行漏水操作;
- 求和砖的盛水量,$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n w[i][j]$ 即为水池的蓄水量;
算法流程图示如下:
编码实现
实现的代码如下,并将一一详细说明。
|
注水操作:
public function addWater() |
漏水操作:
public function removeWater() |
漏水条件实现如下:
public function canRemove($row, $col) |
持续漏水操作:
public function run() |
求和砖的盛水量:
public function collect() |
接收标准输入处理并输出结果:
$filter = function ($value) { |
相似题目
Twitter 之前曾经出过类似蓄水池的笔试题,只不过本题是立体水池(二维数组),Twitter 蓄水池笔试题是平面水池(一维数组),解题复杂度也就降低了,当然 Twitter 蓄水池笔试题也可以采用本题的思想来实现,但是时间复杂度为 $O(n^2)$,采用 我的Twitter技术面试失败了 的实现时间复杂度为 $O(n)$。
实现思路如下:
- 首先,用两个指针(left 和 right)分别指向数组的第一个元素和最后一个元素,左指针从左向右遍历,右指针从右向左遍历;
- 初始化数组中一个元素(a[0])为左边遍历得到的最大值(max_left),最后一个元素(a[a.length-1])为从右边遍历得到的最大值(max_right);
- 开始遍历,遍历结束条件为 左指针不小于右指针;
- 如果左边遍历的最大值小于右边遍历的最大值,说明只要有水沟(即小于左边最大值 max_left 的元素)就会有积水,因为右边的最大值可以保证左边水沟的积水不会流失掉;同样,如果左边遍历的最大值不小于右边遍历的最大值,只要右边有水沟(即小于右边最大值 max_right 的元素)就会有积水;
具体实现,请直接参考 CuGBabyBeaR 文章。
总结
本题的蓄水池问题,如果理解了问题本质并逆向思维,将寻找某块砖四周最低有效砖高度(寻找有效砖涉及到边界扩散)转化为判断某块砖是否需要漏水条件,那么问题就简化很多了,那后续编码也就很容易实现了,本文算法的时间复杂度为 $O(n^3)$。
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